Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，點E是AD邊上一動點，連接BE、CE，以BE為直徑作⊙O，交BC于點F，過點F作FH⊥CE于H．

（Ⅰ）當直線FH與⊙O相切時，求AE的長；

（Ⅱ）若直線FH交⊙O于點G，

（ⅰ）當FH∥BE時，求的長；

（ⅱ）在點E運動過程中，△OFG能否成為等腰直角三角形？如果能，求出此時AE的長；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AE =2.5（Ⅱ）（ⅰ）1或4（ⅱ） 或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接OF，EF， 利用切線的性質、三角形中位線定理證明點F是BC中點，四邊形ABFE是矩形, 從而可得BF=AE =2.5；（Ⅱ）（ⅰ）根據FH∥BE得出ΔAEB∽ΔEDC，然后利用相似三角形的對應邊成比例可求出AE的長；（ⅱ）分①當G在點F的上方時和當G在點F的下方時兩種情況討論，①當G在點F的上方時，可確定AE=，當G在點F的下方時，可確定.

試題解析：（Ⅰ）連接OF，EF，

∵FH為切線，點F為切點，

∴OFFH

又∵FH⊥CE ∴OF∥CE

∵O為BE中點 ∴點F是BC中點

又AD=BC=5，所以BF=2.5

∵矩形ABCD中，BE為直徑 BFE=90

∴A=B=BFE=90

∴ABFE也是矩形, BF=AE =2.5

（Ⅱ）（ⅰ）∵FH∥BE FH⊥CE ∴BEC=90

可證△AEB∽△EDC

設AE=x， 則AE：QB=CD：DE 所以x：2=2：（5-x）

解得x=1或4

（ⅱ）①當G在點F的上方時

連接EF，OG，OF，BG，EF與BG交點為K，作GM⊥EF于M

設AE=x，EF=AB=2，BF=AE=x，∴∠FOG=90 在圓O中∠FBK=∠GEK=45°

可證明BFk和EGK為等腰直角三角形

設FM=BF=x ，則EK=2-x

GM=KM=，

可證：GFM∽EFC

所以， ，

得

∴AE=

②當G在點F的下方時

連BG，EG，EF，OE，OF，作GM⊥BF

同理可證BGK，EFK為等腰直角三角形，

設AE=x，EF=AB=2，BF=AE=x，

∵FOG=90 ， KF=EF=2， ，，

∴ ，

可證GFM∽ECF

∴ ，即：

（舍去負值），即

綜上： 或