Question

【題目】已知平面直角坐標系中兩定點A（﹣1，0）、B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）過點A，B，頂點為C，點P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點．

（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標；

（2）當∠APB為鈍角時，求m的取值范圍；

（3）若m＞，當∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（0＜t＜）個單位，點C、P平移后對應的點分別記為C′、P′，是否存在t，使得首位依次連接A、B、P′、C′所構成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；C（ ，﹣ ）．(2) ﹣1＜m＜0或3＜m＜4;(3)

【解析】分析：（1）待定系數法求解析式即可，求得解析式后轉換成頂點式即可．

（2）因為AB為直徑，所以當拋物線上的點P在⊙C的內部時，滿足∠APB為鈍角，所以-1＜m＜0，或3＜m＜4．

（3）左右平移時，使A′D+DB″最短即可，那么作出點C′關于x軸對稱點的坐標為C″，得到直線P″C″的解析式，然后把A點的坐標代入即可．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣2（a≠0）過點A，B，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；

∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，

∴C（，﹣）．

（2）如圖1，以AB為直徑作圓M，則拋物線在圓內的部分，能使∠APB為鈍角，

∴M（，0），⊙M的半徑=．

∵P′是拋物線與y軸的交點，

∴OP′=2，

∴MP′=，

∴P′在⊙M上，

∴P′的對稱點（3，﹣2），

∴當﹣1＜m＜0或3＜m＜4時，∠APB為鈍角．

（3）存在；

拋物線向左或向右平移，因為AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所構成的多邊形的周長最短，只要AC′+BP′最小；

第一種情況：拋物線向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，

第二種情況：向左平移，如圖2所示，由（2）可知P（3，﹣2），

又∵C（，﹣）

∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），

∵AB=5，

∴P″（﹣2﹣t，﹣2），

要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，

點C′關于x軸的對稱點C″（﹣t，），

設直線P″C″的解析式為：y=kx+b，

，

解得

∴直線y=，

當P″、A、C″在一條直線上時，周長最小，

∴=0

∴t=．

故將拋物線向左平移個單位連接A、B、P′、C′所構成的多邊形的周長最短．