Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，如圖所示，△AOB是邊長為2的等邊三角形，將△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到△DCB，使得點D落在x軸的正半軸上，連接OC、AD．
（1）求證：OC=AD；
（2）求OC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△AOB是邊長為2的等邊三角形，

∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，

又△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉得到的，

∴△DCB也是邊長為2的等邊三角形，

∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，

又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∴△OBC≌△ABD（SAS），

∴OC=AD；

（2）解：∵△AOB與△BCD是邊長為2的等邊三角形，

∴BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，

∴∠BOC=∠BCO=30°，

∴∠OCD=90°．

∵OD=4，CD=2，

∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得

OC= = =2 ．

【解析】（1）根據等邊三角形的性質，可得OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，根據旋轉的性質，可得∠OBC=∠ABD，根據SAS，可得三角形全等，根據全等三角形的性質，可得答案；（2）根據旋轉的性質，可得BO=BC，∠DBC=∠BCD=60°，根據等腰三角形的性質，可得∠OCB的度數，根據勾股定理，可得答案．
【考點精析】利用等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．