Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.

(1)求證：△APQ∽△CDQ；

(2)P點從A點出發沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．當t為何值時，DP⊥AC?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當t＝5時，DP⊥AC，理由見解析

【解析】

（1）根據矩形的性質可得CD∥AB，根據平行線的性質可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，進而可得判定△APQ∽△CDQ；

（2）首先證明△ADQ∽△ACD，根據相似三角形的性質可得，然后計算出AC長，進而可得AQ長，再證明△AQP∽△ABC，可得，則，再解即可得到t的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：當t=5時，DP⊥AC；

∵∠ADC=90°，DP⊥AC，

∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，

∵∠DAQ=∠CAD，

∴△ADQ∽△ACD，

∴，

AC=，

則AQ=，

∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，

∴△AQP∽△ABC，

∴，

則，

解得：t=5，

即當t=5時，DP⊥AC．