Question

如圖，已知：如圖①，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止）；對(duì)稱軸過點(diǎn)A且頂點(diǎn)為M的拋物線（a＜0）始終經(jīng)過點(diǎn)E，過E作EG∥OA交拋物線于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長度/秒和個(gè)單位長度/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF是菱形？判斷此時(shí)△AFG與△AGB是否相似，并說明理由；
（3）當(dāng)△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點(diǎn)M恰好在BG上時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）在直線解析式中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1。
∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=。
∴tan∠OAB=。∴∠OAB=60°。∴AB=2OA=2。
∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°。
∴，BF=2EF=2t。
∴AF=AB﹣BF=2﹣2t。
（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四邊形ADEF為平行四邊形。
若ADEF是菱形，則DE=AD=t．
由DE=2OD，即：t=2（1﹣t），解得t=。
∴t=時(shí)，四邊形ADEF是菱形。
②此時(shí)△AFG與△AGB相似。理由如下：
如答圖1所示，連接AE，

∵四邊形ADEF是菱形，
∴∠DEF=∠DAF=60°。∴∠AEF=30°。
由拋物線的對(duì)稱性可知，AG=AE。
∴∠AGF=∠AEF=30°。
在Rt△BEG中，BE=，EG=2，
∴。∴∠EBG=60°。
∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°。
在△AFG與△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，
∴△AFG∽△AGB。
（3）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，
①若∠ADF=90°，如答圖2所示，

此時(shí)AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=。
∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。
∴E（0，），G（2，）。
設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，
將B（0，），G（2，）代入得：
，解得。
∴直線BG的解析式為。
令x=1，得，∴M（1，）。
設(shè)拋物線解析式為，
∵點(diǎn)E（0，）在拋物線上，
∴，解得。
∴拋物線解析式為，即。
②若∠AFD=90°，如答圖3所示，

此時(shí)AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得：t=。
∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。
∴E（0，），G（2，）。
設(shè)直線BG的解析式為y=k₁x+b₁，
將B（0，），G（2，）代入得：
，解得。
∴直線BG的解析式為。
令x=1，得y=，∴M（1，）。
設(shè)拋物線解析式為，
∵點(diǎn)E（0，）在拋物線上，
∴，解得。
∴拋物線解析式為，即。
綜上所述，符合條件的拋物線的解析式為：或

試題分析：（1）首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的長。
（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，則四邊形ADEF為平行四邊形，若?ADEF是菱形，則DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；
如答圖1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，證明△AFG與△AGB相似。
（3）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，有兩種情形，需要分類討論：
①若∠ADF=90°，如答圖2所示．首先求出此時(shí)t的值；其次求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用頂點(diǎn)式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
②若∠AFD=90°，如答圖3所示，解題思路與①相同。