Question

【題目】如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點．

（1）求證：PT2=PAPB；

（2）若PT=TB=，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析。（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OT，只要證明△PTA∽△PBT，可得，由此即可解決問題；

（2）首先證明△AOT是等邊三角形，根據S陰=S扇形OAT﹣S△AOT計算即可；

試題解析：（1）證明：連接OT．

∵PT是⊙O的切線，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴，

∴PT2=PAPB．

（2）∵TP=TB=，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB=

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，

∴△AOT是等邊三角形，

∴S陰=S扇形OAT﹣S△AOT=.