Question

【題目】在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1．將直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點E，F，連接EF（如圖①）．

（1）當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如圖②），求PC的長；
（2）探究：將直尺從圖②中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止．在這個過程中，請你觀察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由；
②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經過的路線長．

Answer 1

【答案】
（1）解：在矩形ABCD中，

∠A=∠D=90°，

AP=1，CD=AB=2，則PB= ，

∴∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴ = ，即 = ，

∴PC=2

（2）解：①tan∠PEF的值不變．

理由：過F作FG⊥AD，垂足為G，

則四邊形ABFG是矩形，

∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，

∴∠AEP+∠APE=90°，

又∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠GPF=90°，

∴∠AEP=∠GPF，

∴△APE∽△GPF，

∴ = = =2，

∴Rt△EPF中，tan∠PEF= =2，

∴tan∠PEF的值不變；

②設線段EF的中點為O，連接OP，OB，

∵在Rt△EPF中，OP= EF，

在Rt△EBF中，OB= EF，

∴OP=OB= EF，

∴O點在線段BP的垂直平分線上，

∴線段EF的中點經過的路線長為O1O2= PC=

【解析】1）由勾股定理求PB，利用互余關系證明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
（2）①tan∠PEF的值不變．過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比，再利用銳角三角函數的定義求值；
②如圖3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O1，O2，連接O1O2，線段O1O2即為線段EF的中點經過的路線長，也就是△BPC的中位線．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對三角形中位線定理的理解，了解連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．