Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AC＝8，△ABC的面積為20，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是________.

Answer 1

【答案】5

【解析】

根據AD是∠BAC的平分線確定出點B關于AD的對稱點B′在AC上，根據垂線段最短，過點B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根據軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM+MN最小的點，B′N=BM+MN，過點B作BE⊥AC于E，利用三角形的面積求出BE，再根據等腰三角形兩腰上的高相等可得B′N=BE，從而得解．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴點B關于AD的對稱點B′在AC上，過點B′作B′N⊥AB于N交AD于M，如圖，

由軸對稱確定最短路線問題,點M即為使BM+MN最小的點,B′N=BM+MN，

過點B作BE⊥AC于E,

∵AC=8,S△ABC=20，

∴12×8BE=20，

解得BE=5，

∵AD是∠BAC的平分線，B′與B關于AD對稱，

∴AB=AB′，

∴△ABB′是等腰三角形，

∴B′N=BE=5，

即BM+MN的最小值是5.

故答案為5.