Question

【題目】已知如圖：拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn).

（1）如圖1，連接，試求出直線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)為拋物線第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，線段交于點(diǎn)，求此時(shí):的值；

（3）如圖3，已知點(diǎn)，連接，將沿著軸上下平移（包括）在平移的過程中直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x+；（2）；（3）G1（2，）,G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的定義，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；

（2）根據(jù)平行于BC且與拋物線相切，可得過P點(diǎn)平行BC的直線，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)解方程組，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得直線MN的解析式，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得b，根據(jù)b的值，可得OM的長(zhǎng)，可得EG的長(zhǎng)，可得答案．

試題解析：（1）在y=-x2+2x+中，

令y=0，則-x2+2x+=0，

解得：x1=-1．x2=5，

則A的坐標(biāo)是（-1，0），B的坐標(biāo)是（5，0）．

拋物線y=-x2+2x+的對(duì)稱軸是x=2，

把x=2代入解析式得y=，則D的坐標(biāo)是（2，）．

設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b，

根據(jù)題意得：，

解得：，

則直線BD的解析式是y=-x+；

（2）連接BC，如圖2，

y=-x2+2x+中，令x=0，則y=，則C的坐標(biāo)是（0，）．

設(shè)BC的解析式是y=mx+n，

則，

解得：，

則直線BC的解析式是y=-x+．

設(shè)與BC平行且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的解析式是y=-x+d．

則-x2+2x+=-x+d，

即x2-5x+（2d-10）=0，

當(dāng)△=0時(shí)，x=，

代入y=-x2+2x+中得：y=，

則P的坐標(biāo)是（， ）．

又∵C的坐標(biāo)是（0，），

設(shè)CP的解析式是y=ex+f，則

解得：，

則直線CP的解析式是y=x+．

根據(jù)題意得：，

解得：，

則F的坐標(biāo)是（，）．

則；

（3）如圖3，

設(shè)BK的解析式是y=kx+b，

則，

解得：，

則直線BK的解析式是y=x-2，

MN的解析式為y=x+b，

當(dāng)y=0時(shí)，x=-b，即M（-b，0），ME=-b-2．

當(dāng)x=0時(shí)，y=b，即N（0，b）．

由△GMN是以MN為腰的等腰直角三角形，得

MG=MN，∠GMN=90°．

∵∠MGE+∠GME=90°，∠GME+∠EMN=90°，

∴∠MGE=∠AMN．

在△GME和△MNA中，

，

∴△GME≌△MNO（AAS），

∴ME=ON，EG=OM，

即-b-2=-b．

解得b=-．

EG=OM=-b=，

G1點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）．

同理可求：G2（2，-7），G3（2，-3）G4（2，-）