Question

【題目】如圖甲所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. BF與CE相交于點M

（1）求證：①△ACE≌△AFB；②EC⊥BF.

（2）如圖乙連接EF，畫出△ABC邊BC上的高線AD,延長DA交EF于點N，其他條件不變，下列四個結論：①∠EAN=∠ABC；

②△AEN≌△BAD；③；④EN=FN。

正確的結論是____________（把正確結論的序號全部填上）

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①③④.

【解析】

（1）先根據AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC判定△ACE≌△AFB（SAS）；再根據全等三角形的性質得出∠ACM=∠AFM，根據Rt△ACF中，∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，可得∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，即△MCF是直角三角形，進而得出結論；
（2）先作EH⊥AN，交AN于點H，FK⊥AN，交AN延長線于點K，構造三對全等三角形：△AEH≌△BAD，△AFK≌△ACD，△FKN≌△EHN，根據全等三角形的面積相等，即可得出S△ABD=S△EAH，S△FKA=S△ADC，S△ENH=S△FNK，根據S△ABC=S△ABD+S△ADC=S△AEH+S△AFK=（S△EAN-S△ENH）+（S△FNA+S△FNK）=S△EAN+S△FNA=S△AEF，即可得出結論③；最后根據△FKN≌△EHN，得出FN=EN即可．

(1)證明：①∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAF=∠EAC，

在△ACE和△AFB中，

∴△ACE≌△AFB(SAS)；

②∵△ACE≌△AFB，

∴∠ACM=∠AFM，

∵Rt△ACF中,∠AFM+∠MFC+∠ACF=90°，

∴∠ACM+∠MFC+∠ACF=90°，

即△MCF是直角三角形，

∴∠CMF=90°，即CE⊥BF；

(2)∵∠BAE=90°，AD⊥BD，

∴∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD，

∴∠EAN=∠ABC，故①正確；

∵∠AEN與∠BAD不一定相等，

∴△AEN與△BAD不一定全等，故②錯誤；

作EH⊥AN，交AN于點H，FK⊥AN，交AN延長線于點K，

∴∠AEH+∠EAH=90°，

∵∠EAB=90°，

∴∠EAH+∠BAD=90°，

∴∠AEH=∠BAD，

在△AEH和△BAD中，

∴△AEH≌△BAD(AAS)，

∴EH=AD，

同理可得：△AFK≌△ACD，

∴FK=AD，

∴FK=EH，

在△FKN和△EHN中，

∴△FKN≌△EHN(AAS)，

∴

即故③正確；

∵△FKN≌△EHN，

∴FN=EN，故④正確.

故答案為：①③④.