Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y =ax+b的圖像與反比例函數y =的圖像交于A（4，﹣2）、B（﹣2，m）兩點，與x軸交于點C.

（1）求a，m的值；

（2）請直接寫出不等式ax+b≥的解集；

（3）點P在反比例函數圖像上，且點P的橫坐標為－4，在平面直角坐標系中是否存在一點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標.

Answer 1

【答案】(1)a=－1，m=4；(2)x≤－2或0<x≤4；(3)Q1(6，0) ，Q2(2，-4)，Q3 (-10，8).

【解析】

（1）先將點A坐標代入反比例函數解析式中求出k，進而求出點B坐標，最后將點A，B坐標代入直線解析式中即可求出a；
（2）利用圖象直接得出結論；
（3）先求出點P坐標，設出點Q坐標，利用平行四邊形的對角線互相平分和中點坐標公式，建立方程求解即可得出結論．

（1）∵點A（4，﹣2）在反比例函數y＝上，

∴k＝4×（﹣2）＝﹣8，

∴反比例函數解析式為y＝﹣，

∵點B（﹣2，．m）在反比例函數上，

∴﹣2m＝﹣8，

∴m＝4，

∴B（﹣2，4），

將點A（4，﹣2），B（﹣2，4）代入直線y＝ax+b中，得

，

∴，

即：a＝﹣1，m＝4；

（2）∵A（4，﹣2），B（﹣2，4），

∴不等式ax+b≥的解集為x≤﹣2或0＜x≤4；

（3）由（1）知，反比例函數的解析式為y＝﹣，

∵點P在反比例函數圖象上，且橫坐標為﹣4，

∴點P的縱坐標為2，

∴P（﹣4，2），

設點Q（c，n），以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

①當AB為對角線時，AB與PQ互相平分，

∴（4﹣2）＝（﹣4+c），（﹣2+4）＝（2+n），

∴c＝6，n＝0，

∴Q（6，0），

②當AP為對角線時，AP與BQ互相平分，

∴（4﹣4）＝（﹣2+n），（﹣2+2）＝（4+n），

∴c＝2，n＝﹣4，

∴Q（2，﹣4），

③當AQ為對角線時，AQ與BP互相平分，

∴（4+c）＝（﹣2﹣4），（﹣2+n）＝（4+2），

∴c＝﹣10，n＝8，

∴Q（﹣10，8），

即：滿足條件的點Q的坐標為（6，0）或（2，﹣4）或（﹣10，8）．