Question

【題目】如圖1，△ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點D，交BC于點E（BE＞EC），且BD=2．過點D作DF∥BC，交AB的延長線于點F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若∠BAC=60°，DE=，求圖中陰影部分的面積；
（3）若=，DF+BF=8，如圖2，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連結OD，如圖1，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，

∴=，

∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，

∴OD⊥DF，

∴DF為⊙O的切線；

（2）

解：連結OB，連結OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如圖1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD=30°，

∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠ODB=60°，OB=BD=2，

∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，

∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，

∴PE==2，

∵OP⊥BC，

∴BP=CP=3，

∴CE=3﹣2=1，

易證得△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，

∴AE=

∵BE∥DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴=，即=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，

∴S陰影部分=S△BDF﹣S弓形BD

=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）

=12﹣+（22

=9﹣2π；

（3）

解：連結CD，如圖2，

由=可設AB=4x，AC=3x，設BF=y，

∵=，

∴CD=BD=2，

∵∠F=∠ABC=∠ADC，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，

∴△BFD∽△CDA，

∴=，即=，

∴xy=4，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，

而∠DFB=∠AFD，

∴△FDB∽△FAD，

∴=，即=，

整理得16﹣4y=xy，

∴16﹣4y=4，解得y=3，

即BF的長為3．

【解析】（1）連結OD，如圖1，由角平分線定義得∠BAD=∠CAD，則根據圓周角定理得到= ， 再根據垂徑定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，則OD⊥DF，于是根據切線的判定定理即可判斷DF為⊙O的切線；
（2）連結OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如圖1，先證明△OBD為等邊三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接著在Rt△DEP中利用勾股定理計算出PE=2，由于OP⊥BC，則BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通過相似比可得到AE=，再證明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根據扇形面積公式，利用S陰影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）進行計算；
（3）連結CD，如圖2，由=可設AB=4x，AC=3x，設BF=y，由=得到CD=BD=2，先證明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再證明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，則16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．