Question

閱讀材料

如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．解決問題：
（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并證明你的結論；
（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述（1）中的結論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；
（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值（用含α的式子表示出來）

Answer 1

（1）BF=CD．證明詳見解析；（2）不成立，；（3）.

試題分析：本題是幾何綜合題，考查了旋轉變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質．解題關鍵是：第一，善于發現幾何變換中不變的邏輯關系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關性質．本題（1）（2）（3）問的解題思路一脈相承，由特殊到一般，有利于同學們進行學習與探究．（1）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD，即可得到BF=CD；
（2）如答圖③所示，連接OC、OD，可證明△BOF∽△COD，進而求出相似比為 ；（3）如答圖④所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，進而可求相似比為.
試題解析：
解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF與△COD中，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．
（2）答：（1）中的結論不成立．
如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，
∴ ，∠BOC=90°
∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，
∴，∠DOF=90°．
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ ．
（3）如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，
∴ ，∠BOC=90°
∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，
∴，∠DOF=90°．
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ ．