Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點，拋物線y=ax2+bx+3經過點B，對稱軸為直線x=1．

（1）求a和b的值；

（2）點P是直線BC上方拋物線上任意一點，設點P的橫坐標為t，△PBC的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）P為拋物線上的一點，連接AC，當∠BCP=∠ACO時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) a=﹣1，b=2；(2) S△PBC =﹣t2+t（0＜t＜3）；(4)P點坐標為（4，﹣5）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C兩點坐標，結合對稱軸，可求得a、b；（2）過點P作PE∥y軸交BC于點D，交x軸于點E，作CF⊥PD于點F，可用t表示出PD的長，則可示得S與t的關系式；（3）當點P在x軸下方時，過點A作AH⊥CP1，利用面積相等可求得AK、CK的比，再利用勾股定理可求得K點的坐標，則可求得直線CK解析式，結合P1在拋物線上可求得其坐標；當點P在x軸上方時，過點B作BM∥y軸，交CP2延長線于點M，可證明△CBK≌△CBM，則可求得M點坐標，可求得直線CM解析式，同理可求得P2點的坐標，則可求得P點坐標．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點，

∴B（3，0），C（0，3），

∴9a+3b+3=0，

∵拋物線對稱軸為直線x=1，

∴=1，

∴a=﹣1，b=2；

（2）如圖1，過點P作PE∥y軸交BC于點D，交x軸于點E，作CF⊥PD于點F，

∵P（t，﹣t2+2t+3），

∴D（t，﹣t+3），

∵點P是直線BC上方，

∴PD=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S△PBC=S△PCD+S△PBD=PDCF+PDBE=PDOB=×3（﹣t2+3t）=﹣t2+t（0＜t＜3）；

（3）①如圖2，當∠BCP1=∠ACO時，過點A作AH⊥CP1，

∵OA=1，OC=3，

∴AC= ，

∵∠BCP1=∠ACO，

∴∠ACH=45°，

∴AH= ，

∵S△ACK=AKOC=CKAH，

∴ ，

設K=π，CK=3m，OK=m﹣1，

在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2

∴32+（m﹣1）2=（3m）2，解得m= ，

∴K（ ，0），

∴直線CK解析式為y=﹣2x+3，

∴P1（n，﹣2n+3）

∵P1在拋物線y=﹣x2+2x+3上，

∴P1（4，﹣5）；

②如圖2，∠BCP2=∠ACO時，過點B作BM∥y軸，交CP2延長線于點M，

在△CBK和△CBM中

∴△CBK≌△CBM（ASA），

∴BK=BM=，

∴M（3，），

∴直線CM的解析式為y=﹣x+3，

∴P2（m，﹣m+3）

∵P2在拋物線上，

∴P2（，），

∴P點坐標為（4，﹣5）或（，）．