Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．

求證：AF平分∠BAC．

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：先根據AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用內角和為180°，可分別求∠BCE和∠DBC，利用等量減等量差相等，可得FB=FC，再易證△ABF≌△ACF，從而證出AF平分∠BAC．

試題解析：證明：∵AB=AC(已知)，

∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).

∵BD、CE分別是高，

∴BD⊥AC,CE⊥AB(高的定義).

∴∠CEB=∠BDC=90°.

∴∠ECB=90°∠ABC,∠DBC=90°∠ACB.

∴∠ECB=∠DBC(等量代換).

∴FB=FC(等角對等邊)，

在△ABF和△ACF中，

，

∴△ABF≌△ACF(SSS)，

∴∠BAF=∠CAF(全等三角形對應角相等)，

∴AF平分∠BAC.

【題型】解答題
【結束】
23

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．

（1）求證：CD=BE；

（2）已知CD=2，求AC的長；

（3）求證：AB=AC+CD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2+2；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據題意判斷出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根據角平分線的性質即可得出結論；

（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根據勾股定理求出BD的長，進而可得出結論；

（3）先根據HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出結論．

試題解析：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∵DE⊥AB，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BE．

∵AD是△ABC的角平分線，

∴CD=DE，

∴CD=BE；

（2）∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，

∴DE=BE=CD=2，

∴BD=，

∴AC=BC=CD+BD=2+2；

（3）∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，

∴CD=DE．

在Rt△ACD與Rt△AED中，

∵，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，

∴AE=AC．

∵由（1）知CD=BE，

∴AB=AE+BE=AC+CD．