Question

定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC²=BC•AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．
如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．

（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．

Answer 1

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。∴AD=BD，BC=BD。
∴△ABC∽△BDC。∴，即。∴AD²=AC•CD。
∴點D是線段AC的黃金分割點。
（2）由（1）AD²=AC•CD，即AD²=AC•（AC﹣AD），AD²=1﹣AD，AD²+AD﹣1=。
解得AD=（舍去負值）。
∴AD=。

試題分析：（1）判斷△ABC∽△BDC，根據對應邊成比例可得出答案。
（2）根據（1）列出方程即可求出AD的長度。