Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，則下列結論中①BC＝BD＝AD；②S△ABD：S△BCD＝AD：DC；③BC2＝CDAC；④若AB＝2，則BC＝﹣1，其中正確的結論的個數是_____個．

Answer 1

【答案】4

【解析】

在△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，可推出△BCD，△ABD為等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正確；由三角形的面積公式得出②正確；利用三角形相似的判定與性質得出③④正確，即可得出結果．

①由AB＝AC，∠A＝36°，得∠ABC＝∠C＝72°，

又BD平分∠ABC交AC于點D，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，

∴AD＝BD，

∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°＝∠C，

∴BC＝BD，

∴BC＝BD＝AD，

∴①正確；

②△ABD與△BCD在AC邊上的高相等，

故△ABD與△BCD的面積比等于對應底邊的比，

∴②正確；

③由①的條件可證△BCD∽△ACB，

則BC：AC＝CD：BC，

∴BC2＝CDAC，

∴③正確；

④設BC＝x，則AC＝AB＝2，CD＝AC﹣AD＝2﹣x，

由BC2＝CDAC，得x2＝（2﹣x）2，

解得x＝±﹣1（舍去負值），

∴BC＝﹣1，

∴④正確．

正確的有4個，

故答案為：4．