Question

【題目】已知，在△ABC中，AB=AC．過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉角θ，直線a交BC邊于點P（點P不與點B、點C重合），△BMN的邊MN始終在直線a上（點M在點N的上方），且BM=BN，連接CN．

（1）當∠BAC=∠MBN=90°時，

①如圖a，當θ=45°時，∠ANC的度數為　 　；

②如圖b，當θ≠45°時，①中的結論是否發生變化？說明理由；

（2）如圖c，當∠BAC=∠MBN≠90°時，請直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數量關系，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②當θ≠45°時，①中的結論不發生變化，理由見解析；（2）∠ANC=90°﹣∠BAC．

【解析】試題分析：（1）①證明四邊形ABNC是正方形，根據正方形的對角線平分一組對角線即可求解；

②根據等腰直角三角形的性質可得∠BNP=∠ACB，然后證明△BNP和△ACP相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，再根據兩邊對應成比例夾角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根據相似三角形對應角相等可得∠ANC=∠ABC，從而得解；

（2）根據等腰三角形的兩底角相等求出∠BNP=∠ACB，然后證明△BNP和△ACP相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，再根據兩邊對應成比例夾角相等可得△ABP和△CNP相似，然后根據相似三角形對應角相等可得∠ANC=∠ABC，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

試題解析：（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°，∴AP⊥BC，BP=CP（等腰三角形三線合一），

∴AP=BP（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

又∵∠MBN=90°，BM=BN，∴AP=PN（等腰三角形三線合一），

∴AP=PN=BP=PC，且AN⊥BC，∴四邊形ABNC是正方形，∴∠ANC=45°；

②連接CN，當θ≠45°時，①中的結論不發生變化．

理由如下：∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN，∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°，

又∵∠BPN=∠APC，∴△BNP∽△ACP，∴，

又∵∠APB=∠CPN，∴△ABP∽△CNP，

∴∠ANC=∠ABC=45°；

（2）∠ANC=90°﹣∠BAC．

理由如下：∵∠BAC=∠MBN≠90°，AB=AC，BM=BN，

∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=（180°﹣∠BAC），

又∵∠BPN=∠APC，∴△BNP∽△ACP，∴，

又∵∠APB=∠CPN，∴△ABP∽△CNP，∴∠ANC=∠ABC，

在△ABC中，∠ABC=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC．