Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點. 連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求證：△APE∽△ADQ；

（2）設AP的長為x，試求△PEF的面積S△PEF關于x的函數關系式，并求當P在何處時，S△PEF取得最大值？最大值為多少？

（3）當Q在何處時，△ADQ的周長最小？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

Answer 1

【答案】（1）證∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

注意到△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，

得S△PEF==. ∴當，即P是AD的中點時，S△PEF取得最大值.

（3）作A關于直線BC的對稱點A′，連DA′交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.

【解析】（1）證得∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD，即可得到△APE∽△ADQ；

（2）先由△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，

得S△PEF==，根據二次函數的性質即可結果；

（3）作A關于直線BC的對稱點A′，連DA′交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.