Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AD=4，CE平分∠ACB交AD于點E．以線段CE為弦作⊙O，且圓心O落在AC上，⊙O交AC于點F，交BC于點G．
（1）求證：AD與⊙O的相切；
（2）若點G為CD的中點，求⊙O的半徑；
（3）判斷點E能否為AD的中點，若能則求出BC的長，若不能請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠OCE=∠DCE，

∴∠OEC=∠DCE，

∴OE∥BC，

∵AD⊥BC，

∴OE⊥AD，

∴AD與⊙O的相切

（2）連接OG，過O作OH⊥CD于H，

∴OH∥AD，

∵OG=OC，

∴∠OGC=∠OCG，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠OGC，

∴OG∥AB，

∵ ，

∵點G為CD的中點，

∴CG= CD= BC，

∴ ，

∴OH∥AD，

∴△COH∽△CAD，

∴ = ，

∴OH=1，

∴DE=OH=1，

∵AD與⊙O的相切，

∴DE2=DGCD=2DG2，

∴DG= ，

∴CD= ，

∵OE∥CD，

∴△AOE∽△ADC，

∴ ，

∴OE= ，

∴⊙O的半徑是

（3）點E不能為AD的中點，

假設點E能為AD的中點，

∵OE∥CD，

∴AO=OC，

∴AC為⊙O的直徑，OE= = CD，

∵CD=BD，AB=AC，

∴AB+AC=BC，即△ABC不存在，

故點E不能為AD的中點

【解析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠OEC=∠OCE，由角平分線的定義得到∠OCE=∠DCE，等量代換得到∠OEC=∠DCE，得到OE∥BC，根據平行線的性質得到OE⊥AD，即可得到結論；（2）由等腰三角形的性質得到∠OGC=∠OCG，∠B=∠ACB，推出OG∥AB，根據平行線分線段成比例定理得到 ，得到 ，根據相似三角形的性質得到 = ，得到DE=OH=1，然后根據相似三角形的性質即可得到結論．（3）假設點E能為AD的中點，根據三角形的中位線的性質得到AO=OC，推出OE= = CD，得到AB+AC=BC，即△ABC不存在，于是得到結論．