Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=8cm，D是AB的中點．現將△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，FE交AC于M點．

（1）求證：AG=GH；

（2）求四邊形GHME的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）根據平移的性質可得△BCD≌△EFG，FG∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，再根據直角三角形的性質可得AD=CD=BD=AB=×8=4，然后再根據等邊對等角，以及平行線的性質可得AG=GH；（2）過C作CN⊥AB于N，證明△BCD為等邊三角形，利用勾股定理計算出CN，根據直角三角形的性質計算出MF，HM，再表示出△FHM和△FGE的面積，求差即可．

本題解析：

（1）證明：將△BCD沿BA方向平移得到△EFG，

∴△BCD≌△EFG，FG∥CD，EF∥CB，DG=EB=1，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點，

∴AD=CD=BD=AB=×8=4，

∴∠DAC=∠ACD，

∵FG∥CD，

∴∠AFG=∠ACD，

∴∠AHG=∠DAC，

∴AG=GH；

（2）解：如圖：過C作CN⊥AB于N，

∵∠ABC=60°，∠ACB=90°，

∴∠A=30°，

∵BC=AB=×8=4，

∵∠ABC=60°，CD=BD，

∴△BCD為等邊三角形，

∴NB=BD=2，

∴CN=，

∵DG=1，AD=4，

∴GH=AG=3，

∴FH=1，

∵∠A=30°，

∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°，

∵FE∥CB，∠ACB=90°，

∴MF=，

∴HM=．

∴S△EFG=S△BCD=×4×2=4，

S△MFH=××=，

∴S四邊形GHME=4﹣=（cm2）．