Question

【題目】閱讀下面的材料：

解方程x4–7x2+12=0，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：

設x2=y，則x4=y2．

∴原方程可化為y2–7y+12=0．

∴a=1，b=–7，c=12．

∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1．

∴y═=–．

解得y1=3，y2=4．

當y=3時，x2=3，x=±．

當y=4時，x2=4，x=±2．

∴原方程有四個根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2．

以上方法叫換元法，達到了降次的目的，體現了數學的轉化思想，運用上述方法解答下列問題．

（1）解方程：（x2+x）2–5（x2+x）+4=0；

（2）已知實數a，b滿足（a2+b2）2–3（a2+b2）–10=0，試求a2+b2的值．

Answer 1

【答案】（1）x1=，x2=，x3=，x4=；）；（2）a2+b2=5．

【解析】

（1）設y=x2+x，則由已知方程得到：y2-5y+4=0，利用因式分解法求得該方程的解，然后解關于x的一元二次方程即可；
（2）設x=a2+b2，則由已知方程得到：x2-3x-10=0，利用因式分解法求得該方程的解，然后解關于x的一元二次方程即可．

（1）設y=x2+x，則y2–5y+4=0，

整理，得（y–1）（y–4）=0，解得y1=1，y2=4，

當x2+x=1即x2+x–1=0時，解得x=；

當x2+x=4即x2+x–4=0時，解得x=；

綜上所述，原方程的解為：x1=，x2=，x3=，x4=；

（2）設x=a2+b2，則x2–3x–10=0，

整理，得（x–5）（x+2）=0，

解得x1=5，x2=–2（舍去），

故a2+b2=5．