Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，過點A作直線MN，且∠MAC＝∠ABC．

（1）求證：MN是⊙O的切線．

（2）設D是弧AC的中點，連結BD交AC于點G，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F．

①求證：FD＝FG．

②若BC＝3，AB＝5，試求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②AE＝1

【解析】

（1）由AB為直徑知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可證得∠MAC+∠CAB＝90°，則結論得證；

（2）①證明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因為D是弧AC的中點，所以∠ABD＝∠CBD．則問題得證；

②連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．證明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根據AB＝BH可求出答案．

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°；

∵∠MAC＝∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，

∴MN是⊙O的切線；

（2）①證明：∵D是弧AC的中點，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵AB是直徑，

∴∠CBG+∠CGB＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠FDG+∠ABD＝90°，

∵∠DBC＝∠ABD，

∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，

∴FD＝FG；

②解：連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．

∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，

∴DE＝DH，

在Rt△BDE與Rt△BDH中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），

∴BE＝BH，

∵D是弧AC的中點，

∴AD＝DC，

在Rt△ADE與Rt△CDH中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．

∴AE＝CH．

∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，

∴AE＝1．