Question

【題目】（1）如圖1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AP、BP分別平分∠CAB、∠CBA，過點P作DE∥AB交AC于點D，交BC于點E．求證：①點P是線段DE的中點；②求證：BP2=BE·BA；

（2）如圖2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，BP平分∠ABC，過點P作DE∥AB交AC于點D，交BC于點E，若點P為線段DE的中點，求AD的長度．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）

【解析】

（1）①由角平分線的性質和平行線的性質得到，根據等角對等邊得到EB=PE，同理得到AD=DP．由平行線分線段成比例定理得到，進而得到EP=DP，即可得出結論；

②先證，由相似三角形對應邊成比例得到，即可得出結論；

（2）根據勾股定理，得到AC的長．由（1）得．設AD=x，則，設AD=x，則．有平行線分線段成比例定理可求出BE的長，進而得到CE、DE的長．在Rt△CDE中，根據勾股定理即可得到結論．

（1）①證明：∵平分，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

同理．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴是的中點；

②由①得，

∵平分，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）由勾股定理，得：．

由（1）得．

設AD=x，則．

∵，

∴，

∴，

∴BE=，

∴EP=PD=BE=，，

∴DE=．

在Rt△CDE中，∵，

∴，解得：，或(不合題意，舍去)．故AD的長為．