Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P以每秒一個單位的速度從點A出發，沿對角線AC向點C移動，同時動點Q以相同的速度從點C出發，沿邊CB向點B移動．設P，Q兩點移動時間為t秒（0≤t≤4）．

（1）用含t的代數式表示線段PC的長是 ；

（2）當△PCQ為等腰三角形時，求t的值；

（3）以BQ為直徑的圓交PQ于點M，當M為PQ的中點時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）5﹣t；（2）當t=或t=或t=時，△PCQ為等腰三角形；（3）當M為PQ的中點時，t的值為．

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理求出AC，根據題意用t表示出AP，結合圖形計算即可；

（2）分CP=CQ、QP=QC、PQ=PC三種情況，根據等腰三角形的性質和相似三角形的判定和性質計算即可；

（3）連接BP、BM，根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一得到BP=BQ，根據勾股定理用t表示出BP、BQ，列出方程，解方程即可．

解：（1）∵∠B=90°，AB=3，BC=4，

∴AC=5，

∵點P的速度是每秒一個單位，移動時間為t秒，

∴AP=t，

則PC=AC﹣AP=5﹣t，

故答案為：5﹣t；

（2）當CP=CQ時，t=5﹣t，

解得t=，

當QP=QC時，過點Q作QH⊥AC于H，如圖1，

則PH=HC=PC=（5﹣t），QC=t，

∵QH⊥AC，∠B=90°，

∴△CHQ∽△CBA，

∴=，即=，

解得t=，

當PQ=PC時，如圖2，

過點P作PN⊥QC于N，

則NC=NQ=QC=t，

∵△CPN∽△CAB，得

=，即=，

解得t=，

綜上所述，當t=或t=或t=時，△PCQ為等腰三角形；

（3）連接BP、BM，如圖3，則∠BMQ=90°，

∵M為PQ的中點，

∴BP=BQ，

過點P作PK⊥AB于K，

∵AP=t，

∴PK=t，AK=t，

∴BK=3﹣t，

在Rt△BPK中，PB2=PK2+BK2=（3﹣t）2+（t）2，又BQ=4﹣t，

∴（4﹣t）2=（3﹣t）2+（t）2，

解得t=．

∴以BQ為直徑的圓交PQ于點M，當M為PQ的中點時，t的值為．