Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），點(diǎn)為直線和雙曲線的一個交點(diǎn)，

（1）求、的值；

（2）若點(diǎn)，在直線上有一點(diǎn)，使得，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在雙曲線是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=-，m=-4；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-1）或（-12，3）；（3）M（，）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖1中，設(shè)直線y=-x與反比例函數(shù)y=-的另一個交點(diǎn)為C（4，-1）．由對稱性可知：OA=OC，推出當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，S△ABP=2S△ABO，此時(shí)P（4，-1）．當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長線上時(shí)，P′A=AC時(shí)，S△ABP=2S△ABO，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
（3）如圖2中，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，則A′（1.4），取AA′的中點(diǎn)D，作直線OD在第二象限交反比例函數(shù)于M．此時(shí)∠AOM=45°，求出直線OD的解析式，再構(gòu)建方程組確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A（-4，1）在直線y=kx和雙曲線y=的圖象上，
∴k=-，m=-4．
（2）如圖1中，設(shè)直線y=-x與反比例函數(shù)y=-的另一個交點(diǎn)為C（4，-1）．

由對稱性可知：OA=OC，
∴當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，S△ABP=2S△ABO，此時(shí)P（4，-1）．
當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長線上時(shí)，P′A=AC時(shí)，S△ABP=2S△ABO，此時(shí)P′（-12，3），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-1）或（-12，3）．
（3）如圖2中，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，則A′（1.4），

取AA′的中點(diǎn)D，作直線OD在第二象限交反比例函數(shù)于M．此時(shí)∠AOM=45°，
∵D（-），
∴直線OD的解析式為y=-x，
由 ，解得 或 ，
∵點(diǎn)M在第二象限，
∴M（，）．