Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，

（1）將拋物線沿y軸向下平移t（t＞0）個單位，當平移后的拋物線與線段OB有且只有一個交點時，則t的取值范圍是.
（2）拋物線上存在點P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，則點P的坐標為 ．

Answer 1

【答案】
（1）0<t<3或t=4
（2） ， （-5，-32）
【解析】（1）解：由y=-x2+2x+3可得A（-1,0），B（3,0），C（0,3）.對稱軸為直線x=1，頂點為（1,4）；
將拋物線沿y軸平移t（t＞0）個單位，得y=-x2+2x+3-t，
當它與x軸的一個交點與O重合時，
則當x=0時，則3-t=0，t=3，此時與x軸的另外一個交點為（1,0），
與x軸的兩個交點都在線段OB上，則t<3；
當它與x軸的一個交點與B重合時，
則當x=3時，則0-t=0，t=0，
此時與x軸的另外一個交點為（4,0），則t>0；
當它的頂點在x軸上時，與x軸只有一個交點，且頂點坐標為（1,0）符合題意，此時-1+2+3-t=0
解得t=4.
綜上，0<t<3或t=4.
（2）取AC的中點M，過M作MN⊥AC交OC于N，連接AN
則AN=CN，

∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC-∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴ ，
∴CN====
∴NO=CO-CN=3-= ，
∴tan∠NAO==；
當點P在BC上方時，設為P1 ， 過B作BD⊥BC交直線CP1于D，過D作DE⊥x軸于E，

∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴===tan∠BCP1=tan∠NAO=；
∴BE=CO=4，DE=BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
設直線CP1的解析式為y=k1x+3，把（7，4）代入
4=7k1+3，
∴k1= ，
∴y=x+3
令-x2+2x+3=x+3，
解得x1=0（舍去），x2=,
∴P1（,），
當點P在BC下方時，設為P2（m，n），
則∠BCP2=∠BCP1
延長DB交直線CP2于E，則點B是DE的中點，設E（a,b）

∴
解得
∴E（-1，-4）
設直線CP2的解析式為y=k2x+3，把（-1，-4）代入-4=-k2+3，
∴k2=7，
∴y=7x+3
令-x2+2x+3=7x+3，
解得x1=0（舍去），x2=-5
∴P2（-5，-32）
綜上所述，拋物線上存在點P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO，
P點坐標為（,）或（-5，-32）．
所以答案是0<t<3或t=4；（,）或（-5，-32）．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數圖象的平移，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能得出正確答案．