Question

【題目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數；

（2）如果點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數量關系？并說明理由．

（3）如果點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C﹣∠B的數量關系是否會發生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10°．（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），證明見解析；（3∠EFD=（∠C﹣∠B）．）

【解析】

（1）由三角形內角和定理先求出∠BAC=100°，再根據AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根據三角形的外角性質可得∠AEC=80°，再根據直角三角形兩銳角互余即可求得∠EFD的度數；

（2）根據三角形的外角的性質可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根據三角形內角和定理以及角平分線的定義得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根據直角三角形的兩個銳角互余求得∠EFD的度數；

（3）根據（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根據對頂角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的兩個銳角互余即可求解．

（1）∵∠C=50°，∠B=30°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=50°，

∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，

在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；

（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）=90°﹣（∠C+∠B），

∵∠AEC為△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），

∴∠EFD=（∠C﹣∠B）；

（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：

如圖，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），

∵∠DEF為△ABE的外角，

∴∠DEF=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+（∠B﹣∠C），

∵FD⊥BC，

∴∠FDE=90°，

∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）

∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．