Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠A的度數為60°，∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點D、E，CE、BD相交于點F．以下四個結論：①cos∠BFE= ；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結論一定正確的序號數是（ ）
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵∠A=60° ∴∠ABC+∠BCA=180°﹣∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF= （∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE= ，
∴即cos∠BFE= ；故①正確；
∵∠BDC=∠A+ ∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°﹣∠A﹣2∠DBA=120°﹣2∠DBA
若BC=BD成立，則應有∠BDC=∠BCA
應有60°+∠DBA=120°﹣2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據題意，沒有條件可以說明∠ABC是40°，
故②錯誤；
∵點F是△ABC內心，作FW⊥AC，FS⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點F是內心而不是各邊中線的交點，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結論為①③．
故選B．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關知識，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．