Question

【題目】如圖，是等邊三角形，上有點D，分別以為邊作等邊和等腰，邊、交于點H，點F在延長線上且，連接．求證：

（1）；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可證AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=60°，進一步推出∠ABD=∠CBE，由SAS即可證得△ABD≌△CBE；

（2）先證∠CDH=∠HBE，由DF=DB可推出∠F=∠CDE，由△ABD≌△CBE可得到CE=AD，由AAS證得△FAD≌△DCE，得到FA=DC，即可推出結論BC=AF+CE．

證明：（1）∵△ABC與△BDE為等邊三角形，

∴AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=60°，

∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC，即∠ABD=∠CBE，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS）；

（2）∵△ABC與△BDE為等邊三角形，

∴∠CAB=∠ABC=∠ACB=60°，∠BED=60°，DB=DE，

在△DCH與△BEH中，

∵∠DCH=∠BEH=60°，∠DHC=∠BHE，

∴∠CDH=∠HBE，

由（1）知∠ABD=∠CBE，

∴∠CDE=∠ABD，

又∵△BDF為等腰三角形，則DB=DF，

∴∠F=∠ABD，DF=ED，

∴∠F=∠CDE，

由（1）知△ABD≌△CBE，

∴∠ECB=∠DAB=60°，CE=DA，

∴∠DCE=∠ECB+∠DCB=120°，∠FAD=180°∠CAB=120°，

∴∠DCE=∠FAD，

在△FAD和△DCE中，

，

∴△FAD≌△DCE（AAS），

∴FA=CD，

∴AF+CE=CD+AD=AC=BC，

即BC=AF+CE．