Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E、F均為中點，則下列結論中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF= PC；④PE+PF=PC．其中正確的是 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：如圖1，

∵正方形ABCD，E，F均為中點，

∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF= DC，

∵在△ADF和△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD=∠DEC

∵∠DEC+∠CDE=90°

∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF

∴AF⊥DE，∴①正確；

如圖2，

過B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，

∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中點，

∴BG⊥AP，G是AD的中點，

∴BG是AP的垂直平分線，

∴△ABP是等腰三角形

∴BP=AB=AD，∴②正確；

如圖3，

延長DE至N，使得EN=PF，連接CN，

∵∠AFD=∠DEC

∴∠CEN=∠CFP

又∵E，F分別是BC，DC的中點，

∴CE=CF，

∵在△CEN和△CFP中， ，

∴△CEN≌△CFP（SAS），

∴CN=CP，∠ECN=∠PCF，

∵∠PCF+∠BCP=90°

∴∠ECN+∠BCP=∠NCP=90°

∴△NCP是等腰直角三角形

∴PN=PE+NE=PE+PF= PC，∴③正確，④錯誤；

∴①②③正確．

所以答案是：①②③．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．