Question

【題目】如圖1，已知射線AP是∠MAN的角平分線，點B為射線AP上的一點且AB＝10，過點B分別作BC⊥AM于點C，作BD⊥AN于點D，BC＝6．

（1）在圖1中連接CD交AB于點O．求證：AB垂直平分CD；

（2）從A，B兩題中任選一題作答，我選擇　 　題

A．將圖1中的△ABC沿射線AP的方向平移得到△ABC，點A、B、C的對應點分別為A′、B′、C′．若平移后點B的對應點B′的位置如圖2，連接DB′．

①請在圖2中畫出此時的△A′B′C′，并在圖中標注相應的字母；

②若圖2中的DB′∥A′C′，寫出平移的距離．

B．將圖1中的△ABC沿射線AP的方向平移得到△A′B′C′，點A、B、C的對應點分別為A′、B′、C′．

①在△A′B′C′平移的過程中，若點C′與點D的連線恰好經過點B，請在圖3中畫出此時的△A′B′C′，并在圖中標注相應的字母；

②如圖3，點C′與點D的連線恰好經過點B，寫出此時平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）A：①△A′B′C′如圖所示；見解析；②平移的距離為，B：①△A′B′C′如圖所示：見解析；②平移的距離為．

【解析】

（1）只要證明△ABC≌△ABD，即可推出AC＝AD，BC＝BD，可得AB垂直平分線段CD；（2）A：①作出△A′B′C′即可；②作DH⊥AB于H．首先證明DA＝DB′，想辦法求出AH即可解決問題；B：①作出△A′B′C′即可；②作C′H⊥AP于H．首先證明C′B＝C′B′，想辦法求出B′H即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，

∵BC⊥AM，BD⊥AN，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，

∴△ABC≌△ABD，

∴AC＝AD，BC＝BD，

∴AB垂直平分線段CD．

（2）A：①△A′B′C′如圖所示；

②作DH⊥AB于H．

在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝BC＝6，

∴AD＝＝8，

∵cos∠DAH＝＝，

∴AH＝，

∵DB′∥AC，

∴∠AB′D＝∠CAB，

∵∠CAB＝∠DAB，

∴∠DAB＝∠AB′D，

∴DA＝DB′，∵DH⊥AB′，

∴AH＝HB′，

∴AB′＝，

∴BB′＝AB′﹣AB＝﹣10＝，

∴平移的距離為，

B：①△A′B′C′如圖所示：

②作C′H⊥AP于H．

∵∠ABD＝∠C′BB′＝∠C′B′A′，

∴C′B＝C′B′，

∵C′H⊥BB′，

∴BH＝HB′，

∵cos∠A′B′C′＝，

∴，

∴HB′＝，

∴BB′＝2B′H＝，

∴平移的距離為．

故答案為A或B，，．