Question

在平面直角坐標系中，一個二次函數的圖象經過點A（1，0）、B（3，0）兩點．

（1）寫出這個二次函數的對稱軸；
（2）設這個二次函數的頂點為D，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E，連接AD、DE和DB，當△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數的表達式。
[提示：如果一個二次函數的圖象與x軸的交點為A，那么它的表達式可表示為：]

Answer 1

解：（1）對稱軸為直線：x=2。
（2）∵A（1，0）、B（3，0），∴設這個二次函數的表達式。
當x=0時，y=3a，當x=2時，y=。
∴C（0，3a），D(2,－a)，∴OC=|3a|。
∵A（1，0）、E（2，0），∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a|。
在△AOC與△DEB中，
∵∠AOC=∠DEB=90°，∴當時，△AOC∽△DEB。
∴時，解得或。
當時，△AOC∽△BED，
∴時，此方程無解。
綜上所述，所求二次函數的表達式為：或，即
或。

（1）由拋物線的軸對稱性可知，與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，易求出對稱軸。
（2）由提示中可以設出函數的解析式，將頂點D與E的坐標表示出來，從而將兩個三角形的邊長表示出來，而相似的確定過程中充分考慮到分類即可解決此題。