Question

【題目】（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，在BC邊上是否存在點P，使∠APD＝90°，若存在，請用直尺和圓規作出點P并求出BP的長．（保留作圖痕跡）

（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為AB，AC的中點，當AD＝6時，BC邊上是否存在一點Q，使∠EQF＝90°，求此時BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）存在，3+.

【解析】試題分析：（1）以AD為直徑畫圓與BC交于點P1、P2，則點P1、P2為所求點；由矩形的性質得到AD=BC=10，AB=CD=4根據三角形相似即可解出；

（2）由三角形的中位線得到EF∥BC，EF=BC=6，根據EF與BC間距離為3，推出以EF為直徑的 O與BC相切，得出BC上符合條件的點Q只有一個，記 O與BC相切于點Q，連接OQ，過點E作EG⊥BC，垂足為G，證出四邊形EOQG為正方形，由勾股定理即可求出．

解：（1）如圖①所示，點P1、P2為所求的點；（保留作圖痕跡）

在矩形ABCD中，連接AP1、DP1，AD=BC=10，AB=CD=4，

設BP1=x，則P1C=10﹣x，

∵∠AP1D=90°，∴∠AP1B+∠CP1D=90°，

∵∠BAP1+∠AP1B=90°，∴∠BAP1=∠CP1D，

又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP1∽△P1CD，

∴，∴，

解得：x1=2，x2=8，∴BP的長是2或8

（2）如圖②，

∵EF分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC，EF=BC=6，

∵AD=6，AD⊥BC，∴EF與BC間距離為3，

∴以EF為直徑的⊙O與BC相切，

∴BC上符合條件的點Q只有一個，記⊙O與BC相切于點Q，

連接OQ，過點E作EG⊥BC，垂足為G，

∴EG=OE=3，∴四邊形EOQG為正方形，

在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3，∴BG=，∴BQ=3+．