Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P在AB上，AP=2，點E、F同時從點P出發，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側．設E、F運動的時間為t/秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．
（1）當t=1時，正方形EFGH的邊長是 ． 當t=3時，正方形EFGH的邊長是 ．
（2）當0＜t≤2時，求S與t的函數關系式；
（3）直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）2；4
（2）解：

，

如圖1，EP=FP=t，HE=EF=2t，

如圖2，EP=FP=t，HE=EF=2t，

AE=AP﹣EP=2﹣t，

由 = ，即 = 得t= ，

故S重疊面積=S正方形=（2t）2=4t2（0＜t≤ ），

如圖4，AE=AP﹣EP=2﹣t，

LE= AE= ，

HL=HE﹣LE=2t﹣ （2﹣t），

HM= HL= [2t﹣ （2﹣t）]，

由HG= HL，即2t= [2t﹣ （2﹣t）]

解得：t= ，

如圖3，AE=AP﹣EP=2﹣t，

LE= AE= ，

HL=HE﹣LE=2t﹣ （2﹣t），

HM= HL= [2t﹣ （2﹣t）]，

S重疊面積=S正方形﹣S△HLM=EF2﹣ HL×HM=﹣ t2+ t﹣ （ ＜t≤ ）；

如圖5，AE=AP﹣EP=2﹣t，LE= AE= （2﹣t），MF= AF= （2+t），

S重疊面積=S梯形LEFM= （EL+MF）×EF=3t（ ＜t≤2）

（3）解：由（2）知：當0＜t≤ 時，

S與t的函數關系式是S=2t×2t=4t2= ；

當 ＜t≤ 時，

S與t的函數關系式是：

S=﹣ t2+ t﹣ = ；

當 ＜t≤2時；

S與t的函數關系式是：

S=3t=6；

當t＞2時，觀察正方形與三角形的重疊面積隨t值變化情況，容易得到只有當 ≤t≤ 時，S才有可能取到最大值．如圖7，圖8，圖9，圖10，圖11，圖12，

顯然，圖10，圖12是圖11的特殊情況，只要算出圖11的重疊面積關于t的函數關系式，即可得出在圖11中，

由PA+AE=t，得AE=t﹣2，FB=AB﹣AE﹣EF=10﹣（t﹣2）﹣4=8﹣t，

由LE= E= （t﹣2），HL=HE﹣LE=4﹣ （t﹣2），HM= HL= [4﹣ （t﹣2）]

得S△HLM= HL×HM= [4﹣ （t﹣2）]× [4﹣ （t﹣2）]

由FB=AB﹣AE﹣EF=10﹣（t﹣2）﹣4=8﹣t，則FK= （8﹣t），GK=GF﹣KF=4﹣ （8﹣t），

由NG= GK= [4﹣ （8﹣t）]，

則S△NGK= GK×NG= [4﹣ （8﹣t）]× [4﹣ （8﹣t）]，

S重疊面積=16﹣S△NCK﹣S△HLM═﹣ t2+ t﹣ ，

=﹣ （t﹣ ）2+

∴綜上所述，當t= 時S有最大值，為 ．

由圖形知，在整個過程中，S取得最大值只會在圖11中產生，故當t= 時S有最大值，為

【解析】解：（1）當時t=1時，則PE=1，PF=1， ∴正方形EFGH的邊長是2；
當t=3時，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的邊長是4．
所以答案是：2，4；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．