Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點 在 軸負半軸上，頂點在軸正半軸上，頂點 在第一象限，線段 ， 的長是一元二次方程 的兩根，，．

（1）直接寫出點的坐標 點 C 的坐標 ；

（2）若反比例函數的圖象經過點，求 的值；

（3）如圖過點作 軸于點 ；在軸上是否存在點 ，使以，， 為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似?若存在，直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），．（2）；（3）存在， 或 或 或 或

【解析】

（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，求出兩根即可得到點A，C的坐標；

（2）過點B作BE⊥AC，垂足為E，由∠BAC=45°可知AE=BE，設BE=x，用勾股定理可得CE=，根據AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE-OA=OE，即可求出點B的坐標，然后求出k的值；

（3）分類討論，根據相似三角形對應邊成比例求出點P的坐標．

（1）解一元二次方程 ，

解得：，

所以 ，

所以 ，；

（2） 如圖，過點 作 ，垂足為 ，

∵ ，

∴ ，

設，

∵ =12，

∴ EC=12-x，

在RtΔBEC中，，

∴

整理得：，

解得：（不合題意舍去），，

∴ ，，

∴ ，

把代入，得 ；

（3）存在．

如圖2，

若點P在OD上，若△PDB∽△AOP，

則，即，

解得：OP=2或OP=6，

∴P（0，2）或P（0，6）；

如圖3，

若點P在OD上方，△PDB∽△AOP，
則，即，

解得：OP=12，

∴P（0，12）；

如圖4，

若點P在OD上方，△BDP∽△AOP，

則，即，

解得：OP=4+2或OP=4-2（不合題意舍去），

∴P（0，4+2）；

如圖5，

若點P在y軸負半軸，△PDB∽△AOP，

則，即，

解得：OP=-4+2或-4-2（不合題意舍去），

則P點坐標為（0，4-2）

故點 的坐標為： 或 或 或 或