Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）當矩形EFPQ為正方形時，求正方形的邊長；

（2）設EF＝x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線BC勻速向右運動（當矩形的頂點Q到達C點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當矩形EFPQ為正方形時，邊長為 ；（2）當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5；（3）當0≤t≤時，S =5-2t2；當＜t＜2.5時，S＝-2t；當2.5≤t≤3時，S＝2t2-12t+18

【解析】（1）由條件可得，即，計算即可.
（2）可利用用x表示出EH．表示出矩形EFPQ的面積，利用二次函數可求得其最大值；
（3）分0≤t≤，，2.5≤t≤3三種情況進行討論即可.

(1)∵四邊形EFPQ為矩形，

∴EF∥BC，

，

即，

解得

∴當矩形EFPQ為正方形時，邊長為.

即當x為時，矩形EFPQ為正方形；

（2）∵∠B=45°，

∴，

∴

∵EF∥BC，

∴△AEH∽△ABD，∴，

∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，

∴，即，∴，

已知EF=x，則EH=．

∵∠B=45°，

∴=4﹣．

S矩形EFPQ

∴當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）如圖①，當0≤t≤時

設EF交AC于M點，FP交AC于N點，

∵△MNF∽△CAD，

∴，

即，

∴FN=4t ，

∴S=5-t·4t，

=5-2t2

如圖②，當時

設EF交AC于M點，過C作CN⊥EF于N點，

∵△CNM∽△ADC

∴，

即，

∴MN=，

∴FN=t-，

∴S=5-（t-+t），

=-2t ，

如圖③，當2.5≤t≤3時

設EQ交AC于N點，

∵△CQN∽△CDA

∴，

即，

∴NQ=12-4t，

∴S=(3-t)(12-4t)

=2t2-12t+18