Question

【題目】(1)請在橫線上填寫合適的內容，完成下面的證明：

如圖①如果AB∥CD，求證：∠APC＝∠A+∠C．

證明：過P作PM∥AB．

所以∠A＝∠APM，(　 　)

因為PM∥AB，AB∥CD(已知)

所以∠C＝　 　(　 　)

因為∠APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C(等量代換)

(2)如圖②，AB∥CD，根據上面的推理方法，直接寫出∠A+∠P+∠Q+∠C＝　 　．

(3)如圖③，AB∥CD，若∠ABP＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠QCD＝m，則m＝　 　(用x、y、z表示)

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)540°；(3)x﹣y+z．

【解析】

（1）根據平行線的性質可得；

（2）過點P作PM∥AB，過點Q作QN∥CD，將∠A、∠P、∠Q、∠C劃分為6個3對同旁內角，由平行線的性質可得；

（3）延長PQ交CD于點E，延長QP交AB于點F，可得∠BFP=∠CEQ，根據三角形外角定理知∠BFP=∠BPQ-∠B、∠CEQ=∠PQC-∠C，整理后即可得．

(1)過P作PM∥AB，

所以∠A＝∠APM，(兩直線平行，內錯角相等)

因為 PM∥AB，AB∥CD (已知 )

所以 PM∥CD，

所以∠C＝∠CPM，(兩直線平行，內錯角相等)

因為∠APC＝∠APM+∠CPM

所以∠APC＝∠A+∠C (等量代換 )，

故答案為：兩直線平行，內錯角相等；∠CPM；兩直線平行，內錯角相等．

(2)如圖②，過點P作PM∥AB，過點Q作QN∥CD，

∴∠A+∠APM＝180°，∠C+∠CQN＝180°，

又∵AB∥CD，

∴PM∥QN，

∴∠MPQ+∠NQP＝180°，

則∠A+∠APQ+∠CQP+∠C＝∠A+∠APM+∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C＝540°，

故答案為：540°．

(3)如圖③，延長PQ交CD于點E，延長QP交AB于點F，

∵AB∥CD，

∴∠BFP＝∠CEQ，

又∵∠BPQ＝∠BFP+∠B，∠PQC＝∠CEQ+∠C，

即∠BFP＝∠BPQ﹣∠B，∠CEQ＝∠PQC﹣∠C，

∴∠BPQ﹣∠B＝∠PQC﹣∠C，即y﹣x＝z﹣m，

∴m＝x﹣y+z，

故答案為：x﹣y+z．