Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣3經過（﹣1，0），（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y=kx與拋物線交于A，B兩點．

（1）寫出點C的坐標并求出此拋物線的解析式；

（2）當原點O為線段AB的中點時，求k的值及A，B兩點的坐標；

（3）是否存在實數k使得△ABC的面積為？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）當原點O為線段AB的中點時，k的值為﹣2，點A的坐標為（﹣，2），點B的坐標為（，﹣2）．（3）不存在，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）令x=0求出y值即可得出C點的坐標，又有點（﹣1，0）、（3，0），利用待定系數法求拋物線的解析式即可；（2）將正比例函數解析式代入拋物線解析式中，找出關于x的一元二次方程，根據根與系數的關系即可得出“xA+xB=2+k，xAxB=﹣3”，結合點O為線段AB的中點即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，將k的值代入一元二次方程中求出xA、xB，在代入一次函數解析式中即可得出點A、B的坐標；（3）假設存在，利用三角形的面積公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xAxB=﹣3”，即可得出關于k的一元二次方程，結合方程無解即可得出假設不成立，從而得出不存在滿足題意的k值．

試題解析：（1）令拋物線y=ax2+bx﹣3中x=0，則y=﹣3，

∴點C的坐標為（0，﹣3）．

∵拋物線y=ax2+bx﹣3經過（﹣1，0），（3，0）兩點，

∴有，解得：，

∴此拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）將y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，

整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，

∴xA+xB=2+k，xAxB=﹣3．

∵原點O為線段AB的中點，

∴xA+xB=2+k=0，

解得：k=﹣2．

當k=﹣2時，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，

解得：xA=﹣，xB=．

∴yA=﹣2xA=2，yB=﹣2xB=2．

故當原點O為線段AB的中點時，k的值為﹣2，點A的坐標為（﹣，2），點B的坐標為（，﹣2）．

（3）假設存在．

由（2）可知：xA+xB=2+k，xAxB=﹣3，

S△ABC=OC|xA﹣xB|=×3×=，

∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．

∵（2+k）2非負，無解．

故假設不成立．

所以不存在實數k使得△ABC的面積為．