Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，點O是AB上一點，⊙O過點B且與AC相切于點E，交BD于點G，交AB于點F．

（1）求證： BE平分∠ABD；

（2）當BD=2，sinC=時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：連接OE，根據等腰三角形三線合一的性質和切線的性質得出OE⊥AC， BD⊥AC，證得OE∥BD，根據平行線的性質和等腰三角形的性質可證得結論；

（2）根據sinC=求出AB=BC=4，設⊙O的半徑為r，則AO=4-r，得出sinA=sinC，根據OE⊥AC，得出sinA，即可求出半徑.

試題解析：（1）證明：連接OE，∵AC與⊙O相切，∴OE⊥AC

∵AB=BC且D是BC中點，∴BD⊥AC，

∴OE∥BD，∴∠OEB=∠DBE

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB

∴∠ABE=∠DBE，∴BE平分∠ABD

（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC∴BC=4，∴AB=4

設⊙O的半徑為r，則AO=4-r

∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=

∵AC與⊙O相切于點E，∴OE⊥AC

∴sinA===，∴r=