Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝．E為矩形外一點(diǎn)，且△EBA∽△ABD．

(1)、求AE和BE的長；

(2)、若將△ABE沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點(diǎn)E分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應(yīng)的m的值；

(3)、如圖②，將△ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABE為△A′BE′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A′E′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P，與直線BD交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、AE＝4，BE＝3；(2)、m=3；m=；(3)、DQ=3－、、－或.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)三角形相似得出AE和BE的長度；(2)、分兩種情況分別計算出m的值；(3)、分四種情況分別求出DQ的長度.

試題解析：(1)、AE＝4，BE＝3

(2)、點(diǎn)E在AB上時，m＝3；點(diǎn)E在AD上時，m=

(3)、存在．理由如下：在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如圖3﹣1所示，點(diǎn)Q落在BD延長線上，且PD＝DQ，求得DQ=3－；

②如圖3﹣2所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ＝DQ，求得DQ=；

③如圖3﹣3所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PD＝DQ，求得DQ=－；

④如圖3﹣4所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ＝PD，求得DQ=．

綜上所述，存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q，使△DPQ為等腰三角形：

DQ的長度分別為3－、、－或.