Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．
①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱(chēng)M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣ x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，

∴0=﹣2+c，解得c=2，

∴B（0，2），

∵拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：①由（1）可知直線解析式為y=﹣ x+2，

∵M(jìn)（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，

∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），

∴PM=﹣ m+2，PA=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+4m，

∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，

∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，

當(dāng)∠BNP=90°時(shí)，則有BN⊥MN，

∴BN=OM=m，

∴ = ，即 = ，解得m=0（舍去）或m=2，

∴M（2，0）；

當(dāng)∠NBP=90°時(shí)，則有 = ，

∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），

∴BP= = m，AP= = （3﹣m），

∴ = ，解得m=0（舍去）或m= ，

∴M（ ，0）；

綜上可知當(dāng)以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）或（ ，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2），

∵M(jìn)，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，

∴有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，

當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，則有2（﹣ m+2）=﹣ m2+ m+2，解得m=3（三點(diǎn)重合，舍去）或m= ；

當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí)，則有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí)，則有﹣ m+2=2（﹣ m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣ ；

綜上可知當(dāng)M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為 或﹣1或﹣

【解析】（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）①由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo)，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長(zhǎng)，分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐標(biāo)，由題意可知有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的線段的中點(diǎn)和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．