Question

【題目】荊州市某水產養殖戶進行小龍蝦養殖．已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p（元/千克）與時間第t（天）之間的函數關系為： ，日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數關系如圖所示：

（1）求日銷售量y與時間t的函數關系式？
（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該養殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？
（4）在實際銷售的前40天中，該養殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m＜7）元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設解析式為y=kt+b，

將（1，198）、（80，40）代入，得：

，解得： ，

∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）

（2）解：設日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y，

①當1≤t≤40時，w=（ t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣ （t﹣30）2+2450，

∴當t=30時，w最大=2450；

②當41≤t≤80時，w=（﹣ t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，

∴當t=41時，w最大=2301，

∵2450＞2301，

∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元

（3）解：由（2）得：當1≤t≤40時，

w=﹣ （t﹣30）2+2450，

令w=2400，即﹣ （t﹣30）2+2450=2400，

解得：t1=20、t2=40，

由函數w=﹣ （t﹣30）2+2450圖象可知，當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元，

而當41≤t≤80時，w最大=2301＜2400，

∴t的取值范圍是20≤t≤40，

∴共有21天符合條件

（4）解：設日銷售利潤為w，根據題意，得：

w=（ t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣ t2+（30+2m）t+2000﹣200m，

其函數圖象的對稱軸為t=2m+30，

∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函數的圖象及其性質可知2m+30≥40，

解得：m≥5，

又m＜7，

∴5≤m＜7

【解析】（1）根據函數圖象，利用待定系數法求解可得；（2）設日銷售利潤為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”列出函數解析式，由二次函數的性質分別求得最值即可判斷；（3）求出w=2400時x的值，結合函數圖象即可得出答案；（4）依據（2）中相等關系列出函數解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結合二次函數的性質可得答案．