Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求點B到AC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵點D在⊙O上，

∴直線CP是⊙O的切線

（2）如圖，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN= CB= ，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP= ，

∴sin∠CAN= ，

∴ ，

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

設AF=x，則CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即點B到AC的距離為4．

【解析】（1）利用直徑所對的圓周角為直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判斷出∠ACP=90°即可；（2）利用銳角三角函數，即勾股定理即可．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．