Question

【題目】我們知道，在數軸上，|a|表示數a到原點的距離，這是絕對值的幾 何意義，進一步地，數軸上兩個點A、B，分別用a 和b 表示，那么A、B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|利用此結論，回答以下問題：

(1)數軸上表示3 和7 的兩點之間的距離是 ，數軸上表示﹣3 和﹣7 的兩 點之間的距離是 ，數軸上表示2 和﹣3 的兩點之間的距離是 ；

(2)數軸上表示x和﹣5 的兩點A、B之間的距離是 ，如果|AB|＝3，那 么x的值為 ；

(3)當代數式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值時，相應的x的取值范圍是多少？最小值是多少？

(4)已知點A在數軸上對應的數是a，點B在數軸上對應的數是b，且|a+4|+(b﹣1)2＝0，設點P在數軸上對應的數是x，當|PA|﹣|PB|＝2時，求x的值．

Answer 1

【答案】(1)4；4；5；(2)；-8或-2；(3)x的范圍是；最小值是4；(4)x的值為.

【解析】

（1）（2）直接根據數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|．代入數值運用絕對值即可求任意兩點間的距離．

（3）根據|x﹣a|表示數軸上x與a之間的距離，因而原式表示：數軸上一點到1和3距離的和，當x在1和3之間時有最小值．

（4）應考慮到A、B、P三點之間的位置關系的多種可能解題．

（1）數軸上表示3和7的兩點之間的距離是|7﹣3|=4，數軸上表示﹣3和﹣7的兩點之間的距離是|﹣7﹣（﹣3）|=4．數軸上表示2和﹣3的兩點之間的距離是|2﹣（﹣3）|=5．

（2）數軸上表示x和﹣5的兩點A和B之間的距離是|x﹣（﹣5）|=|x+5|，如果|AB|=3，那么x為﹣8或﹣2．

（3）代數式|x﹣1|+|x+3|表示在數軸上到1和﹣3兩點的距離的和，當x在﹣3和1之間時，代數式取得最小值，最小值是﹣3和1之間的距離4．

故當﹣3≤x≤1時，代數式取得最小值，最小值是4．

（4）①當P在點A左側時，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣5≠2．

②當P在點B右側時，|PA|﹣|PB|=|AB|=5≠2，∴上述兩種情況的點P不存在．

③當P在A、B之間時，|PA|=|x﹣（﹣4）|=x+4，|PB|=|x﹣1|=1﹣x．

∵|PA|﹣|PB|=2，∴x+4﹣（1﹣x）=2，∴x，即x的值為．

故答案為：（1）4；4；5．

（2）|x+5|；﹣8或﹣2．

（3）x的范圍是﹣3≤x≤1；最小值是4．

（4）x的值為-.