Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線經過點，與軸，軸分別交于，兩點，點，

（1）求的值和直線的函數表達式；

（2）連結，當是等腰三角形時，求的值；

（3）若，點，分別在線段，線段上，當是等腰直角三角形且時，則的面積是______.

Answer 1

【答案】（1），直線AD的表達式為：（2）t的值為或或；（3）的面積是或．

【解析】

（1）將A點代入即可求得m的值， 根據D點設直線AD的一般式，將A點代入求得k的值即可；

（2）分以BC為底和以BC為腰（其中BC為腰又分為以B點為頂點和以C點為頂點分別討論）兩種情況討論，畫出相應的圖形，根據圖形分析即可得出t的值；

（3）分以M為直角頂點和以N為直角頂點，構造全等三角形，進行分析即可求出的面積．

解：（1）將代入中的得，解得，

因為，所以設直線AD的解析式為：，

將代入得，解得，所以；

（2）如下圖，

由直線可知,

當y=0時，，解得x=-8，所以,

①當等腰以BC為底時，P點在BC的垂直平分線與x軸交點處，

則此時，

即，解得；

②當等腰以BC為腰時，若B點為頂點，則以B點為圓心，BC為半徑畫弧，在B點右側（因為）與x軸相交于，

∵,

∴，

若C點為頂點，則以C點為圓心，BC為半徑畫弧，與x正半軸交于處，

∴，即，

綜上所述t的值為或或．

（3）①當是以M為直角頂點的等腰直角三角形，如下圖，

分別過P點和N點作x軸垂線與過M點作y軸的垂線相交于E，F,

則∵EP垂直x軸，FN垂直x軸，EF垂直y軸

∴∠PEF=∠EFN=90°，

∴∠EPM+∠EMP=90°，

∵∠PMN=90°，

∴∠FMN+∠EMP=90°，

∴∠EPM=∠FMN，

又∵PM=MN，

∴△PEM≌△MFN

∴設MF=EP=m，NF=ME=n，

∵P(-4,0),

∴，

分別將M和N代入和中

解得，

∴，;

當是以N為直角頂點的等腰直角三角形，如下圖，

分別過P點和M點作x軸垂線與過N點作y軸的垂線相交于G，H,

與本小題①同理可證△NPG≌△MNH

設，

則

分別將M和N代入和中，

，解得

所以，

故的面積是或．