Question

【題目】如圖， 是以為直徑的上的點(diǎn)，，弦交于點(diǎn).

(1)當(dāng)是的切線時(shí)，求證: ；

(2)求證: ；

(3)已知，是半徑的中點(diǎn)，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE＝

【解析】（1）由AB是直徑，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根據(jù) PB是⊙O的切線，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根據(jù)同角的余角相等即可證得∠PBD＝∠DAB；

（2）證明△BCE∽△DCB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得BC2＝CECD，再根據(jù)CD=CE+DE經(jīng)過推導(dǎo)即可得BC2- CE2= CEDE；

(3) 連接OC，由，AB是直徑，可得∠AOC=∠BOC=90°，根據(jù)勾股定理則有CE=OE+CO， BC=OB+CO ，再根據(jù)OA=4 ，E 是半徑 OA 的中點(diǎn)，繼而可得BC=4，CE=2，再根據(jù)（2）中 BC-CE=CE·DE，即可求得DE的長.

（1）∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，

又 ∵ PB是⊙O的切線，

∴PB⊥AB，

∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，

∴∠PBD＝∠DAB；

（2）∵，

∴∠BDC＝∠EBC，

又∵∠BCE＝BCD，

∴△BCE∽△DCB，

∴BC：CE=CD：BC，

∴BC2＝CECD，

∴BC2＝CE(CE+DE)，

∴BC2＝CE2+CEDE，

∴BC2- CE2= CEDE；

(3)如圖，連接OC，

∵，AB是直徑，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE=OE+CO， BC=OB+CO ，

∵OA=4 ，E 是半徑 OA 的中點(diǎn)，

∴BC=4，CE=2，

由（2）中 BC-CE=CE·DE，所以 DE=(BC-CE)÷CE=12÷2= ，

故 DE=.