Question

【題目】如圖12，已知拋物線過點，，過定點的直線與拋物線交于，兩點，點在點的右側，過點作軸的垂線，垂足為.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點在拋物線上運動時，判斷線段與的數量關系(、、)，并證明你的判斷；

(3)為軸上一點，以為頂點的四邊形是菱形，設點，求自然數的值；

(4)若，在直線下方的拋物線上是否存在點，使得的面積最大，若存在，求出點的坐標及的最大面積，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+1；（2）BF=BC，理由詳見解析；（3）6；（4）當t=2時，S△QBF有最大值，最大值為+1，此時Q點坐標為（2，2）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求拋物線解析式；（2）設B（x， x2+1），而F（0，2），利用兩點間的距離公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如圖1，利用菱形的性質得到CB=CF=PF，加上CB=FB，則可判斷△BCF為等邊三角形，所以∠BCF=60°，則∠OCF=30°，于是可計算出CF=4，所以PF=CF=4，從而得到自然數m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，先解方程組得B（1+，3+），設Q（t，t2+1），則E（t，t+2），則EQ=﹣t2+t+1，則S△QBF=S△EQF+S△EQB=（1+）EQ=（1+））（﹣t2+t+1），然后根據二次函數的性質解決問題．

試題解析：

（1）把點（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=x2+1；

（2）BF=BC．

理由如下：

設B（x， x2+1），而F（0，2），

∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，

∴BF=x2+1，

∵BC⊥x軸，

∴BC=x2+1，

∴BF=BC；

（3）如圖1，m為自然數，則點P在F點上方，

∵以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，

∴CB=CF=PF，

而CB=FB，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF為等邊三角形，

∴∠BCF=60°，

∴∠OCF=30°，/span>

在Rt△OCF中，CF=2OF=4，

∴PF=CF=4，

∴P（0，6），

即自然數m的值為6；

（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，

當k=1時，一次函數解析式為y=x+2，

解方程組 得 或，則B（1+，3+），

設Q（t， t2+1），則E（t，t+2），

∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，

∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=（1+）EQ=（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，

當t=2時，S△QBF有最大值，最大值為+1，此時Q點坐標為（2，2）．