Question

【題目】如圖，在Rt△ABC的頂點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上正半軸上，且

A(－1，0)，B(4，0)，∠ACB＝90°.

(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸l與BC邊交于點(diǎn)D，若P是對(duì)稱軸l上的點(diǎn)，且滿足以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在對(duì)稱軸l和拋物線上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得以A、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1 備用圖

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：(1)根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)分兩種情況進(jìn)行討論即可.

(3)存在. 假設(shè)直線l上存在點(diǎn)M，拋物線上存在點(diǎn)N，使得以A、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.分當(dāng)平行四邊形是平行四邊形時(shí)，當(dāng)平行四邊形AONM是平行四邊形時(shí)，當(dāng)四邊形AMON為平行四邊形時(shí)，三種情況進(jìn)行討論.

詳解：(1)易證，得，

∴OC=2，∴C(0，2),

∵拋物線過點(diǎn)A(-1，0)，B(4，0)

因此可設(shè)拋物線的解析式為

將C點(diǎn)(0，2)代入得:，即

∴拋物線的解析式為

(2)如圖2，

當(dāng)時(shí)，則P1(，2),

當(dāng) 時(shí)，

∴OC∥l,

∴，

∴P2H＝·OC＝5，

∴P2 (，5)

因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，2)或(，5).

(3)存在.

假設(shè)直線l上存在點(diǎn)M，拋物線上存在點(diǎn)N，使得以A、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

如圖3，

當(dāng)平行四邊形是平行四邊形時(shí)，M(，)，(,),

當(dāng)平行四邊形AONM是平行四邊形時(shí)，M(，)，N(,),

如圖4，當(dāng)四邊形AMON為平行四邊形時(shí)，MN與OA互相平分，此時(shí)可設(shè)M(，m)，則

∵點(diǎn)N在拋物線上，

∴-m＝-·(-+1)( --4)=-,

∴m=,

此時(shí)M(，)， N(-,-).

綜上所述，M(，)，N(,)或M(，)，N(,) 或 M(，)， N(-,-).