Question

【題目】如圖，已知△ABC中，點D在邊BC上，∠DAB=∠B，點E在邊AC上，滿足AECD=ADCE．
（1）求證：DE∥AB；
（2）如果點F是DE延長線上一點，且BD是DF和AB的比例中項，聯結AF．求證：DF=AF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AECD=ADCE，

∴ ，

∵∠DAB=∠B，

∴AD=BD，

∴ ，

∴DE∥AB；

（2）證明：∵BD是DF和AB的比例中項，

∴BD2=DFAB，

∵AD=BD，

∴AD2=DFAB，

∴ ，

∵DE∥AB，

∴∠ADF=∠BAD，

∴△ADF∽△DBA，

∴ =1，

∴DF=AF．

【解析】（1）根據已知條件得到 ，根據等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代換即可得到結論；（2）由BD是DF和AB的比例中項，得到BD2=DFAB，等量代換得到AD2=DFAB，推出 ，根據相似三角形的性質得到 =1，于是得到結論．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．